OLASILIK

_I»cindekiler
1 Tan³ml³ Integral Uygulamalar³ 5
1.1 Olas³l³k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3
4 _I » CINDEKILER
BÄolÄum 1
Tan³ml³ Integral Uygulamalar³
1.1 Olas³l³k
Rastlant³sal sÄure»clerin analizi olas³l³k ve istatisti¸gin matematiksel alanlar
olarak odaklanmas³d³r. Basit bir Äornek olarak para atma gÄosterilebilir. Yaz³
yada tura gelmesinin %50 »sans³ vard³r. Raslant³sall³ktan dolay³, veri bir at³»s
say³s³ndan hareketle ka»c kere yaz³ gelece¸gini bilmek olanakl³ de¸gildir. Fakat
herbir olanakl³ »c³kt³n³n olabilirli¸gi hesaplanabilir. Yaz³ i»cin Y, tura i»cin T
kullan³ld³³nda at³lan iki demir paran³n olanakl³ dÄort »c³kt³s³ olacakt³r; YY, YT,
TY, TT. Herbirinin olbilirli¸gi e»sittir, dolay³s³yla olas³l³k 1
4 olarak bulunacak-
t³r. Bunun anlam³, ortalamada, her bir olay denemelerin dÄortte birinde
ger»cekle»secektir. Ba»ska bir de¸gi»sle, gÄoreceli s³kl³k, olaylar³n denemeler »cok
say³da oldu¸gunda, yakla»s³k olarak 1
4 kere ger»cekle»sece¸gini sÄoylemektedir.
Yaz³ gelme olay³n³n say³s³n³n kaydedildi¸gini dÄu»sÄunelim. _Iki kere yaz³ gelme
olas³l³¸g³ 1
4 , bir kere yaz³ gelme olas³l³¸g³ 2
4 (»cÄunkÄu iki farkl³ olay olarak yaz³
gelebilir YT ve TY) ve hi»c yaz³ gelmeme olas³l³¸g³ 1
4 olacakt³r. Genellikle bu
tarz veriler histogram ile gÄosterilmetedir (»Sekil (1.1)).
»Simdi sekiz adet para at³ls³n. Buna gÄore gelecek yaz³ say³s³ tabloda ver-
ilmi»stir ve histogram³ da gÄosterilmi»stir. Olas³l³klar toplam³ bire e»sittir (ya
da %100 yani herhangi bir denemede olanakl³ »c³kt³lardan biri ger»cekle»secek-
tir). Bu durum olas³l³k teorisinin en Äonemli Äozelli¸gidir. Di¸ger bir Äozelli¸gi
toplama prensibidir. 6, 7 veya 8 yaz³ gelme olas³l³¸g³n³ hesaplamak i»cin (ya
da mutually exclusive »c³kt³lar³) bireysel olas³l³klar toplanmal³d³r.
P(6; 7; yada 8) =
28
256
+
8
256
+
1
256
=
37
256
t 0:144
5
6 B Ä OLÄUM 1. TANIMLI INTEGRAL UYGULAMALARI
0 1 2
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
»Sekil 1.1: _Iki Demir Para At³»s³n³n Histogram³
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
»Sekil 1.2: Sekiz Demir Para At³»s³n³n Histogram³
Bu hesaplaman³n gra¯ksel yorumu »cok a»c³klay³c³d³r. »Sekil (1.2)'deki his-
togramda, herbir dikdÄortgenin geni»sli¸gi 1 dir. O zaman her bir dikdÄortgenle
ili»skili olas³l³k diktÄorgenin alan³na e»sittir.
Yaz³ Say³s³ 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Olas³l³k 1
256
8
256
28
256
56
256
70
256
56
256
28
256
8
256
1
256
Gra¯ksel ifadelerle incelersek,
1. BÄoyle bir histogram³n toplam alan³ 1 dir.
2. 6 ile 8 aras³nda yaz³ gelme olas³l³¸g³ 6 ile 8'in bulundu¸gu alanlar³n
toplam³d³r.
1.1. OLASILIK 7
Burada dikkat edilmesi gereken bÄutÄun olas³l³k olaylar³n³n yaz³ turan³n
ho»s teorik yap³s³ gibi yap³lar³ yoktur. ÄOrne¸gin, rastlant³sal olarak se»cilmi»s
bir ki»sinin boyunun 1.90 ya da 1.95 olma olas³l³¸g³n³ bulman³n yolu farkl³d³r.
Bu durumda olas³l³k ile gÄoreceli s³kl³k aras³ndaki ili»ski kullan³lmaktad³r. »Cok
say³da insan³n boyunun verisi yard³mc³ olacakt³r. Elimizde »sÄoyle bir veri
olsun.
Boy <1.64 1.64 1.65 1.66 1.67 1.68 1.69 1.70 1.71 1.72 1.73 >1.73
Ki»si Say³s³ 23 32 61 94 133 153 155 134 96 62 31 26
Anketteki toplam ki»si say³s³ 1000 dir. 1.69 boya sahiplerin gÄoreceli s³kl³¸g³
155
1000 = 0:155 dir. 1.70 olmas³n³n gÄoreceli s³kl³¸g³ 134
1000 = 0:134 dÄur. 1.69 yada
1.70 olma olas³l³¸g³n³n tahmini 0.155 + 0.134 = 0.289 olacakt³r. »Sekil (1.3)
histogram³ gÄostermektedir.
1.6 1.65 1.7 1.75
0
0.02
0.04
0.06
0.08
0.1
0.12
0.14
0.16
»Sekil 1.3: Boylar³n GÄoreceli S³kl³¸g³n³n Histogram³
Burada aradaki farklar art³k 1 de¸gildir. 0.01 »seklinde artmaktad³r. Her
nekadar geni»slik 1 ile gÄosterilse bile alan³ 0.01 ile »carpmam³z bize olas³l³¸g³
verecektir. 1.68 il 1.69 aras³nda n boy aral³¸g³ olsun. x santimetre cinsinden
boyu ve f(x), x de¸gerini i»ceren aral³k i»cin histogramdaki boy olsun. Buna
gÄore, x1 = 1:68 + 1
n, x2 = 1:68 + 2
n »seklinde devam edecektir. BÄoylece,
xi = 1:68 + i
n oldu¸gu a»c³kt³r. Buna gÄore, ¢x = 1
n bulunacakt³r. Raslant³sal
se»cilmi»s bir ki»si i»cin, boyunun 1.68 ile 1.73 aras³nda olma olas³l³¸g³ a»sa¸g³daki
»sekilde verilebilir;
P(1:68 · x · 1:73) t f(x1)¢x + f(x2)¢x + ::: + f(xn)¢x =
Xn
i=1
f(xi)¢x
(1.1)
8 B Ä OLÄUM 1. TANIMLI INTEGRAL UYGULAMALARI
n say³s³ artt³k»ca, histogram³n kÄo»selerden kurtuldu¸gu ve smoothing oldu¸gu
gÄorÄulecektir.
1 2 3
0,2
-3 -2 -1 0
0,1
0,4
0,3
0
»Sekil 1.4: Olas³l³k Yo¸gunluk Fonksiyonu ve Histogram
Bu limite giden f(x) fonksiyonuna, olas³l³k yo¸gunluk fonksiyonu ad³
verilmektedir. Herhangi bir i = 1; 2; :::; n i»cin, f(xi), xi boyunun olas³l³¸g³n³
vermemektedir. Bunun yerine, »cok kÄu»cÄuk ¢x de¸gerleri i»cin, f(xi)¢x miktar³
[xi¡1; xi] aral³¸g³ndaki boylar³n yakla»s³k olas³l³¸g³n³ vermektedir.
E»sitlik (1.1)'e dikkatlice bak³ld³¸g³nda, ve n de¸geri artt³¸g³nda ne olaca¸g³n³
dÄu»sÄunelim. Sa¸gdaki Riemann toplam³
R b
a f(x)dx integraline yakla»smal³d³r.
Buna gÄore, 1.68 ile 1.73 integralinin limiti a»sa¸g³daki gibi olacakt³r;
lim
n!1
Xn
i=1
f(xi)¢x =
Z 1:73
1:68
f(x)dx
Dolay³s³yla, olas³l³klar³ hesaplaman³n direk yolu bulunmu»stur. Baz³ tan³m-
larla tart³»sma Äozetlensin. Ayr³k (discrete) olas³l³k da¸g³l³m³ i»cin a»sa¸g³-
daki Äorne¸gi inceleyelim. (ayr³k kelimesi belirli sonlu kÄumelerde yada sabit
dizilerde i»slem yap³ld³¸g³n³ belirtmektedir). ÄOrne¸gin, yaz³-tura olay³nda yaz³
say³s³ tam say³d³r. Ancak, bir »cok da¸g³l³m sÄurekli dir. Raslant³sal de¸gi»sken
belirli bir aral³ktaki say³lardan olu»smaktad³r. SÄurekli da¸g³l³mlar i»cin, his-
togram olas³l³k yo¸gunluk fonksiyonunun (pdf) gra¯¸gidir. »Simdi pdf'i tan³m-
layal³m.
1.1. OLASILIK 9
Tan³m 1.1. X, a · x · b ile herhangi bir x de¸geri i»cin varsay³lm³»s bir
rastlant³sal de¸gi»sken olsun. X i»cin olas³l³k yo¸gunluk fonksiyonu a»sa¸g³daki
ko»sullar³ sa¸glayan bir f(x) fonksiyonudur;
1. a · x · b i»cin f(x) ¸ 0 dir. (pdf hi»cbir zaman negatif olamaz.)
2.
R b
a f(x)dx = 1 (Toplam olas³l³k 1 dir.)
3. c ve d aras³nda gÄozlemlenen X de¸gerinin olas³l³¸g³ bu aral³ktaki olas³l³k
yo¸gunluk fonksiyonunun gra¯¸gi alt³nda kalan aland³r. Yani,
P(c · X · d) =
Z d
c
f(x)dx
ÄOrnek 1.1 (Herhangi Bir aral³kta bir fonksiyonun pdf olup olmad³¸g³n³n
do¸grulanmas³). f(x) = 3x2 fonksiyonunun [0; 1] aral³¸g³nda pdf olarak tan³m-
land³¸g³n³ gÄosterelim. Bunun i»cin tan³m (1.1)'deki (1.) ve (2.) Äozellikler
do¸grulanmal³d³r.
A»c³k»ca, f(x) ¸ 0 d³r. 2. Äozellik i»cin, bu aral³kta pdf 'in integrali al³n-
mal³d³r; Z 1
0
= 3x2dx = x3j1
0 = 1
ÄOrnek 1.2 (pdf kullanarak olas³l³klar³n tahmini). f(x) = 0:4
2¼ e¡0:08(x¡68)2
olas³l³k da¸g³l³m fonksiyonu olsun. x de¸gerinin 68 ile 69 aras³nda bulunma
olas³l³¸g³ i»cin a»sa¸g³daki integralin »cÄozÄulmesi yeterlidir;
P(68 · x · 69) =
Z 69
68
0:4
2¼
e¡0:08(x¡68)2
dx t 0:15542
ÄOrnek 1.3 (Ä Ussel pdf ile olas³l³k hesab³). Belirli bir marka ampulÄun y³l
olarak ÄomrÄu Äussel olarak da¸g³lan bir pdf 'e sahiptir: f(x) = 4e¡4x. Buna gÄore
3 aydan daha az Äomre sahip olma olas³l³¸g³n³ bulunuz.
_ Ilk olarak rastlant³sal de¸gi»sken ampÄulÄun ÄomrÄunÄu y³l olarak Äol»ctÄu¸gÄunden 3
ayl³k zaman dilimi y³ll³k olarak 1
4 »seklinde yaz³labilir. Buna gÄore olas³l³k;
P
µ
0 · x ·
1
4
¶
=
Z 1=4
0
4e¡4xdx = 4
µ
1
4
¶
e4x
¯¯¯
1=4
0
= ¡e¡1 + e0 = 1 ¡ e¡1 ¼ 0:63212
10 B Ä OLÄUM 1. TANIMLI INTEGRAL UYGULAMALARI
ÄOrnek 1.4 (PDF'in Katsay³s³n³ Belirleme). 0 · x · 1 ve baz³ c sabitleri
i»cin, herhangi bir rastlant³sal say³ i»cin pdf f(x) = ce¡3x olsun. Buna gÄore
fonksiyonun pdf olabilmesi i»cin c ne olmal³d³r?
_ Ilk olarak bÄutÄun x 2 [0; 1] de¸gerleri i»cin, pdf olabilmesi i»cin, f(x) =
ce¡3x ¸ 0 olmal³d³r. Buna gÄore, c ¸ 0 olacakt³r. Ayr³ca bu aral³kta integralin
de¸geri bire e»sit olmal³d³r. BÄoylece,
1 =
Z 1
0
ce¡3xdx = c
µ
¡
1
3
¶
e¡3x
¯¯
10
= ¡
c
3
e¡3 +
c
3
=
c
3
(1 ¡ e¡3)
Buradan,
c =
3
1 ¡ e¡3 ¼ 3:1572
Tan³m 1.2. f(x) olas³l³k yo¸gunluk fonksiyonu ile [a; b] aral³¸g³nda rastlant³sal
de¸gi»skenin ortalamas³ (¹) a»sa¸g³daki »sekilde olacakt³r;
¹ =
Z b
a
xf(x)dx
Ortalama, rastlant³sal de¸gi»skenler i»cin yayg³n olarak kullan³lmaktad³r.
Ancak, istatistik»ciler i»cin tek Äol»cÄut de¸gildir. Di¸ger alternati¯ medyan olarak
adland³r³lmaktad³r. Rastlant³sal de¸gi»skenin yar³s³ bu de¸gerde yada alt³nda
di¸ger yar³s³ da bu de¸gerde yada ÄustÄundedir.
ÄOrnek 1.5 (Bir grup hÄucrenin ortalamas³n³ ve medyan³n³ bulma). GÄunlÄuk
olarak tek hÄucreli bir organizman³n ya»s³ k = 1
2 ln 2 ile, f(x) = (ln 2)e¡kx
olas³l³k yo¸gunluk fonksiyonuna sahiptir. Aral³k 0 · x · 2 varsay³m³, bir
hÄucrenin iki gÄunlÄuk olunca ikiye ayr³lmas³ndan yap³lmaktad³r. Buna gÄore,
(a) hÄucrelerin ortalama ya»s³ ka»ct³r, (b) ortalamadan daha gen»c hÄucrelerin
oran³ nedir ve (c) hÄucrelerin ya»slar³n³n medyan³ nedir?
(a) i»cin, tan³m (1.2)'den hareketle, ortalama a»sa¸g³daki gibi olacakt³r.
¹ =
Z 2
0
x ln 2e(ln 2)x=2dx ¼ 0:88539
Burada integral say³sal olarak »cÄozÄulebilir. »CÄunkÄu integrand³n anti-tÄurevi
yoktur.
(b) i»cin, ortalamadan daha gen»c hÄucrelerin oran³ ortalamadan daha gen»c
hÄucrenin rastlant³sal olarak se»cilme oran³ demektir. Buna gÄore, bu olas³l³k
1.1. OLASILIK 11
a»sa¸g³daki gibi hesaplanacakt³r;
P(0 · X · ¹) =
Z 0:88539
0
ln 2e(ln 2)x=2dx ¼ 0:52848
Burada da integral say³sal olarak »cÄozÄulebilir. »CÄunkÄu integrand³n anti-tÄurevi
yoktur.
(c) i»cin, a»sa¸g³daki integral c sabiti i»cin, »cÄozÄulmelidir;
0:5 =
Z c
0
ln 2e(ln 2)x=2dx
e(ln 2)x=2 fonksiyonunun anti-tÄurevi ¡ 2
ln 2e(ln 2)x=2 oldu¸gundan,
0:5 =
Z c
0
ln 2e(ln 2)x=2dx = ln 2
·
¡
2
ln 2
e(ln 2)x=2
¸c
0
= ¡2e(ln 2)c=2 + 2:
_ Iki taraftan da 2 »c³kar³ld³¸g³nda ve -2 de¸gerine bÄolÄundÄu¸gÄunde,
0:75 = e(ln 2)c=2
ln 0:75 = ¡(ln 2)c=2
Buna gÄore, c,
c = ¡
2 ln 0:75
ln 2 ¼ 0:83
12 B Ä OLÄUM 1. TANIMLI INTEGRAL UYGULAMALARI
Kaynaklar
13